Quét công thức trên trang 288 của tác phẩm "Mémoires sur quelques ownétés remarquables des quantités transcendantes, Circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des scatics de Berlin (1768), 265 – 322.

Năm 1761, Lambert đã chứng minh rằng π là số vô tỷ khi lần đầu tiên chứng minh rằng liên phân số mở rộng này là đúng:

tan ⁡ ( x ) = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ . {\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}

Sau đó Lambert đã chứng minh rằng nếu x là khác không và hữu tỷ thì biểu thức này phải là số vô tỷ. Do tan (π/4) = 1, suy ra π / 4 là số vô tỷ và do đó π là số vô tỷ.[2] Một cách chứng minh đơn giản hóa chứng minh của Lambert được đưa ra dưới đây.